仕事効率の最大値は高温熱源の温度と低温熱源の温度のみに決定される

カルノーの原理

カルノーの原理

熱機関とは、熱を仕事に変え、循環的に動作しつづける機関である。トムソンの原理が示すように、熱機関がサイクルを繰り返し動作するためには、熱源となる高温熱源と熱の流出先である低温熱源とが必要である。これを一般化すると、下図のようになる。

カルノーの原理・熱機関の仕事

高温熱源から熱 Q1 を取り、その一部を仕事 W として外界に出し、残りの熱 Q2 を低温熱源へ放出するような熱機関を考える。このとき、熱機関を一つの系と見なしたとき、この系において、次のことが成り立つ。

\[ Q_{1} > 0 Q_{2} < 0 W < 0 \]

熱力学第 1 法則(エネルギー保存の法則)により、

\[ Q_{1} + Q_{2} + W = 0 \]

熱機関の仕事率 e は次のように計算される。

\[ e=\frac{-W}{Q_{1}} = \frac{Q_{1}+Q_{2}}{Q_{1}} \]

つまり、高温熱源から流入した熱と、熱機関が外部になされた仕事の比が、仕事効率となる。

カルノーは仕事効率の最大値 emax について研究し、その最大値が熱機関の構造や作業物質によらず、常に高温熱源の温度 Th と低温熱源の温度 Tl のみで決定されることを見出した。これをカルノーの原理といい、次のように数式できる。

\[ e_{max} = F(T_{h} - T_{l}) \]

カルノーの原理の証明

カルノーの原理

いま、高温熱源 Th で動作する可逆熱機関 A と可逆熱機関 B を考え、それぞれの仕事率を -eA と eB とする。eA < eB と仮定する。また、低温熱源 Tl でも同様な可逆熱機関 A と可逆熱機関 B が動作していると考える。このとき、同じ -Q1 の熱を用いたとき、それぞれの期間が外部にする仕事と低温熱源への放熱は、

\[-W_A=e_AQ_1,-Q_A=(1-e_A)Q_1\] \[-W_B=e_BQ_1,-Q_B=(1-e_B)Q_1\]

である。eA < eB だから、

\[ -W_A>-W_B,-Q_A<-Q_B \]

ここで、下図のように熱機関 A を正常運動させ、その仕事 WA を用いて熱機関 B を逆運転させる。熱機関 B の逆運転では低温熱源から高温熱源へ熱をくみ上げるには WB の仕事しか必要としない。そこで、-WA > -WB だから

\[ -W_A=-(W_B+W') \]

とおける。こうして WA を分割して WB は熱機関 B の逆運転に、W' を外部への仕事として用いることにする。このとき、熱機関 A と熱機関 B を連結して一つの系と見なしたとき、この系は低温熱源から熱をくみ取り外部へ仕事をする第 2 種永久機関となる。これはトムソンの原理に反する。よって、eA ≤ eB である。同様にして、eA ≥ eB も導かれるので、結局 eA = eB となる。