理想気体の断熱変化において pVγ = 一定

断熱体積変化ポアソンの式

断熱体積変化では、系と外界との間に熱の出入りがない。断熱体積変化の全過程において、次の式に示す関係が成り立つ。つまり、断熱系の内部エネルギーの変化は、外界との仕事の交換のみです。

\[ d'W=dU \]

理想気体では内部エネルギーは温度のみに依存する関数で、体積に無関係である。\( C_V=\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V \) により、

\[ dU=C_{V}dT\quad\mathrm{or}\quad\frac{dU}{dT} = V_{V} \]

となる。一方 d'W = -PdV で、理想気体については、-PV = nRT が成り立つので、

\[ d'W=-PdV=-\frac{nRT}{V}dV \]

これより、

\[ C_{V}dT = -\frac{nRT}{V}dV \Longleftrightarrow C_{V}\frac{dT}{T} = -nR\frac{dV}{V} \]

V1 → V2 (T1 → T2) の間で両辺を積分する。

\[ C_V\ln\frac{T_2}{t_1} = -nR\ln\frac{V_2}{V_1}= nR\frac{V_1}{V_2} \]

n mol についてのマイヤーの関係式は、CP - CV = nR であるため、

\[ \frac{C_P}{C_V}=\gamma \]

とおくと、 \( \frac{\mathrm{nR}}{C_V}=\frac{C_P-C_V}{C_V}=\gamma-1 \) であるから、

\[ \frac{T_2}{T_1}= \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma-1} \]

となる。また、(V1, V2) に相当する圧力を (P1 → P2) とすると、P1V1 = nRT1, P2V2 = nRT2 が成り立つので、

\[ \frac{T_2}{T_1}=\frac{P_2V_2}{P_1V_1} \]

両式から T を消去すると、

\[ P_1V_1^\gamma=P_2V_2^\gamma \]

が得られる。これを一般化すると、

\[ PV^\gamma=\mathrm{const.} \]

これをポアッソンの式という。

また、

\[ P_1V_1^\gamma=P_2V_2^\gamma=PV^\gamma \]

が成り立つから、仕事は

\[ \begin{eqnarray} W &=& -\int_{V_1}^{V_2}PdV \\ &=& -P_1V_\gamma\int_{V_1}^{V_2}\frac{dV}{V^\gamma} \\ &=& -\frac{P_1V_1^\gamma}{1-\gamma}\left(V_2^{1-\gamma}-V_1^{1\gamma}\right) \\ &=& \frac{1}{1-\gamma}\left(P_1V_1-P_2V_2\right) \end{eqnarray} \]

\( 1-\gamma=1-\frac{C_P}{C_V}=\frac{C_V-C_P}{C_V} \) であるから、PV = nRT および CP - CV = R より、

\[ \begin{eqnarray} W &=& \frac{1}{1-\gamma}\left(P_1V_1-P_2V_2\right) \\ &=& \frac{nR}{1-\gamma}\left(T_1-T_2\right) \\ &=& nC_V(T_2-T_1) \end{eqnarray} \]

となる。また、内部エネルギーの変化については断熱変化で Q = 0 だから、

\[ \Delta U = W = nC_V(T_2-T_1) \]

となる。同様にして、断熱変化において気体のエンタルピーの変化は、

\[\Delta H={nC}_P(T_2-T_1)\]

が求められる。