等温体積変化における内部エネルギーの変化および熱の移動

理想気体の等温体積変化

理想気体の体積が V1 から V2 に変化したとき、系になされる仕事を W とする。理想気体の状態方程式 PV = nRT を、P について解くと、P = nRT/V となる。理想気体について考えているため、体積変化は準静的変化として考えることができる。このとき、系の内圧と外圧は等しい。等温体積変化による系になされる仕事は、次のように計算できる。

\[ \begin{eqnarray} W &=& -\int_{V_{1}}^{V_{2}} PdV = -nRT\int_{V_{1}}^{V_{2}}\frac{dV}{V} \\ &=& -nRT\ln\frac{V_{2}}{V_{1}} \end{eqnarray} \]

理想気体の内部エネルギー U は、温度が一定ならば、体積によらず一定である。すなわち、ΔU = 0 が成り立つ。このとき、よって、ΔU = W + Q により、等温体積変化における熱の変化は、次のように求まる。

\[ Q = -W = nRT\ln\frac{V_{2}}{V_{1}} \]

この式から、気体の圧縮・膨張と熱の出入りは、次のような関係が見られる。

  • 気体圧縮(V2 < V1)は、放熱反応(Q < 0)である。
  • 気体膨張(V2 > V1)は、吸熱反応(Q > 0)である。